Intégrale de \( \sin^2(x) \cos^2(x) \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale :

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \]

Utilisez les identités trigonométriques \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) et \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \) pour réécrire l'intégrale :

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 + \cos(2x)) \, dx \]

Développons l'intégrande de l'intégrale du côté droit en utilisant la différence de carrés :

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2x)) \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \), qui pour \( \theta = 2x \) donne \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \) :

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

Simplifions l'intégrande à l'intérieur des parenthèses :

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx = \dfrac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx \]

Évaluez en utilisant les intégrales standard \( \int 1 \, dx = x \) et \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) \) :

\[ = \dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{1}{4} \sin(4x) \right) + c \]

où \( c \) est la constante d'intégration.

Le résultat final est donné par :